用六面不均匀的骰子模拟一只六面均匀的骰子

最近被问到了这么一个问题,蛮有意思的. 这里可以做一个额外的限定:在有限的步骤内精确地将发生的事件分割成六个概率为 1/6 的部分,而不是随着操作次数的次数增多趋近 1/6.

经过了一段时间的探索之后,我发现想要通过重复掷固定次数的骰子来达成这一目标,在知道六面各自的概率后,是不存在一个策略可以把所有发生的事件精确地分割成六份的.

我将借助超越数,使用反证法来证明这一点.

为了证明这一点,首先可以做一些化简. 六面的骰子过于复杂,可以先尝试减少到两面,也就是把骰子简化成硬币. 假设这样的策略是存在的,也就是给定一个六面概率不一的骰子及其各面概率后,就可以得到一个正整数 n,然后掷这个骰子 n 次,根据每次掷的结果将结果分为等概率的六份. 然后假设存在一种只有两面的各面概率不一的骰子.

首先,这个两面骰子可以做到六面骰子的效果. 方法是掷三次两面骰子,可以得到八种不同的结果,将这八种结果分为六份(不能有任何一份是空的),就可以得到六个概率不一的事件集. 而根据刚才的假设,知道了六种结果的概率后,把它当作一个六面的骰子,重复 n 次掷骰子的操作,然后就可以得到均匀概率的六组结果. 最后,将这六种结果的其中三种分为一组,另三组分为一组,这样就得到了均匀概率的两组结果. 也就是说,当六面骰子的策略存在的时候,两面骰子的策略也同样存在.

接下来就只需要处理两面骰子了. 假设其中一面的概率是 x,那么另一面就是 1 – x. 得知了 x 的具体值之后,重复掷这个两面骰子 n 次,然后就会发生 2^n 种事件,如果用硬币来表述的话就是:正正正正正正… 反正正正正正… 正反正正正正… 等等. 每一种事件发生的概率和其正反的数量有关,比如 x 那面出现了 t 次,另一面出现了 n – t次,那发生这个事件的概率就是 x^t * (1 – x)^(n – t).

这个时候,就可以引入用于反证的矛盾了. 假设刚才说的这种事件分割策略存在,那现在将这 2^n 个事件按照这个策略分割,于是就得到了一组概率为 1/2 的事件集,即将这个事件集中的每一个事件的概率加起来应当等于 1/2. 这样可以把所有的概率先用二项式定理展开,然后相加,最终会得到一个关于 x 的最高 n 阶的多项式: c0 + c1 x + c2 x^2 + … + cn x^n,其中任何一个系数 c 都是整数,因为他们都是通过二项式系数相加得到的. 而这个多项式等于 1/2,因此如果将 x 看作一个未知数的话这就是一个一元的最高 n 次的方程. 之所以说最高 n 阶是因为 cn 及其之前的常数项是可以等于 0 的.

由于 x 可以是任何 [0, 1] 区间内的实数,我在这里可以取一个 [0, 1] 区间内的超越数,例如 pi/4. 超越数的定义是:一个超越数是个实数,但不是任何整数系数一元 n 次方程的根. 而由于刚才得到了一个最高 n 阶的多项式等于 1/2,这意味着 x 是这个方程的根. 而 x 是个超越数,不能是这样一个方程的根,所以只有一种情况:这个方程是个恒等式,也就是除了常数项 c0 以外全是 0. 然而,由于 c0 也是个整数,并不能等于 1/2,得到了矛盾.

综上,由于最终推导出了矛盾,这个假设不成立. 也就是说,不存在一个策略,使得在得知一个任意六面不均匀的骰子各面的概率后,都能得到一个正整数 n,并在掷 n 次骰子后将掷出的结果分成等概率的六份.

然而——故事还没完,重点来了. 重点在于,这个证明并不适用于这道题. 因为压根没说要掷固定的次数啊!举例说明(同时也是一个我觉得 OK 的答案):

掷六次骰子,取点数最大的结果. 如果第 x 次是唯一的点数最大的结果,那 x 就是模拟出来六面均匀骰子掷出来的结果. 如果存在多个点数最大的结果,重掷.

这个策略虽然每次都会掷 6 的倍数次骰子,但并没有规定一定要掷正好多少次,因此并不在刚才证否的范围之内,却依然解决了问题.

所以,做证明前先想好是不是适用啊…

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